Stabilità dei punti di Lagrange

[ilaria_p]

Salve a tutti,
studiando un po' di meccanica celeste (problema ristretto dei 3 corpi) mi
è venuto un dubbio riguardo i punti di Lagrange:
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili? I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!

grazie per il vostro aiuto,
Ilaria

[Aleph]

ilaria_p ha scritto:

...

Post by ilaria_p
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili?

Vedi dopo.

Post by ilaria_p
I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?

...

Lì intorno.

Post by ilaria_p
Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!

I punti L4 e L5 corrispondono a massimi locali del potenziale
generalizzato, ovvero a punti d'instabilità, tuttavia la forza di Coriolis
tende a stabilizzare le masse nel momento in cui discendono la collina di
potenziale acquistando velocità.

Tutto questo a chiacchere, vederlo in dettaglio e in maniera quantitativa,
invece, non è così facile e immediato: dopotutto la loro scoperta è dovuta
al grande Lagrange non a una pippa qualsiasi.

Saluti,
Aleph

[ilaria_p]

Post by Aleph
...

Post by ilaria_p
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili?

Vedi dopo.

Post by ilaria_p
I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?

...
Lì intorno.

Post by ilaria_p
Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!

I punti L4 e L5 corrispondono a massimi locali del potenziale
generalizzato, ovvero a punti d'instabilità, tuttavia la forza di Coriolis
tende a stabilizzare le masse nel momento in cui discendono la collina di
potenziale acquistando velocità.

vediamo se ho capito bene...in pratica la massa tende a spostarsi dai
punti L4 ed L5, però la forza di coriolis la riporta lì vicino? quindi
l'effetto del potenziale non è dominante?

Post by Aleph
Tutto questo a chiacchere, vederlo in dettaglio e in maniera quantitativa,
invece, non è così facile e immediato: dopotutto la loro scoperta è dovuta
al grande Lagrange non a una pippa qualsiasi.
Saluti,
Aleph

In ogni caso grazie dell'aiuto!
Ilaria

[Aleph]

ilaria_p ha scritto:

...

Post by ilaria_p

Post by Aleph

Post by ilaria_p
Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!

I punti L4 e L5 corrispondono a massimi locali del potenziale
generalizzato, ovvero a punti d'instabilità, tuttavia la forza di Coriolis
tende a stabilizzare le masse nel momento in cui discendono la collina di
potenziale acquistando velocità.

vediamo se ho capito bene...in pratica la massa tende a spostarsi dai
punti L4 ed L5, però la forza di coriolis la riporta lì vicino? quindi
l'effetto del potenziale non è dominante?

...

Provo a chiarire.

I punti L4 e L5 sono dei punti di massimo locale del potenziale
generalizzato al netto dell'effetto della forza di Coriolis, che agisce
unicamente su corpi dotati di velocità e non su corpi in quiete.
Ponendo una massa in quiete nei punti L4 o L5 essa si troverà quindi sopra
un massimo locale del potenziale generalizzato privo del termine di
Coriolis (poiché la velocità della massa è nulla), ovvero in un punto
d'instabilità.
A causa dell'instabilità essa tenderà a muoversi dal massimo locale verso
valori più bassi del potenziale, acquisendo in tal modo una velocità non
nulla e innescando quindi la forza di Coriolis e il termine ad essa
associato nel nuovo potenziale generalizzato.
Il nuovo potenziale generalizzato (con il termine di Coriolis "attivo")
garantisce, sotto opportune condizioni, la stabilità del moto della massa
che si muoverà "circolarmente" attorno ai punti lagrangiani.

Saluti,
Aleph

[ilaria_p]

Post by Aleph
...

Post by ilaria_p

Post by Aleph

Post by ilaria_p
Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!

I punti L4 e L5 corrispondono a massimi locali del potenziale
generalizzato, ovvero a punti d'instabilità, tuttavia la forza di Coriolis
tende a stabilizzare le masse nel momento in cui discendono la collina di
potenziale acquistando velocità.

vediamo se ho capito bene...in pratica la massa tende a spostarsi dai
punti L4 ed L5, però la forza di coriolis la riporta lì vicino? quindi
l'effetto del potenziale non è dominante?

...
Provo a chiarire.
I punti L4 e L5 sono dei punti di massimo locale del potenziale
generalizzato al netto dell'effetto della forza di Coriolis, che agisce
unicamente su corpi dotati di velocità e non su corpi in quiete.
Ponendo una massa in quiete nei punti L4 o L5 essa si troverà quindi sopra
un massimo locale del potenziale generalizzato privo del termine di
Coriolis (poiché la velocità della massa è nulla), ovvero in un punto
d'instabilità.
A causa dell'instabilità essa tenderà a muoversi dal massimo locale verso
valori più bassi del potenziale, acquisendo in tal modo una velocità non
nulla e innescando quindi la forza di Coriolis e il termine ad essa
associato nel nuovo potenziale generalizzato.
Il nuovo potenziale generalizzato (con il termine di Coriolis "attivo")
garantisce, sotto opportune condizioni, la stabilità del moto della massa
che si muoverà "circolarmente" attorno ai punti lagrangiani.
Saluti,
Aleph

Adesso ho capito davvero! Grazie per la risposta molto esauriente!
ciao,
ilaria

[Sao 67174]

Post by ilaria_p
Salve a tutti,
studiando un po' di meccanica celeste (problema ristretto dei 3 corpi) mi
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili? I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!
grazie per il vostro aiuto,
Ilaria

Spero di non dire una stupidata, ma se ricordo bene, è proprio
per il fatto che è difficile posizionarcisi che sono stabili, infatti
una volta entrati è difficile uscirvi, in parole povere occorre
un evento ad hoc per finire in un punto lagrangiano ed un'altro evento
ad hoc per uscirne (in un certo senso questi 2 punti sono "come dei
pozzi gravitazionali o come delle buche profonde una volta caduti
dentro è difficile uscirne).
Nei 4,6 miliardi di anni molti asteroidi vi sono caduti, pochi ne sono
usciti, il risultato è che si stima che esistano almeno alcune
migliaia di asteroidi Greci e Troiani nei punti L 4 e L 5 di Giove,
inoltre si cominciano a scoprire Troiani di Marte (5)e Nettuno (1),
essendo anche una questione di massa del
pianeta e vicinanza dal Sole (velocità orbitale) si piega così che
la Terra, Venere e Mercurio non ne hanno, la Luna invece "avrebbe"
2 coppie di nuvole di polveri nei 2 punti lagrangiani L4 e L5, queste
nuvole di detriti, non confermate, hanno il nome del loro scopritore
polacco che purtroppo ora non ricordo.
Sao 67174

[ilaria_p]

Post by Sao 67174

Post by ilaria_p
Salve a tutti,
studiando un po' di meccanica celeste (problema ristretto dei 3 corpi) mi
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili? I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!
grazie per il vostro aiuto,
Ilaria

Spero di non dire una stupidata, ma se ricordo bene, è proprio
per il fatto che è difficile posizionarcisi che sono stabili, infatti
una volta entrati è difficile uscirvi, in parole povere occorre
un evento ad hoc per finire in un punto lagrangiano ed un'altro evento
ad hoc per uscirne (in un certo senso questi 2 punti sono "come dei
pozzi gravitazionali o come delle buche profonde una volta caduti
dentro è difficile uscirne).
Nei 4,6 miliardi di anni molti asteroidi vi sono caduti, pochi ne sono
usciti, il risultato è che si stima che esistano almeno alcune
migliaia di asteroidi Greci e Troiani nei punti L 4 e L 5 di Giove,
inoltre si cominciano a scoprire Troiani di Marte (5)e Nettuno (1),
essendo anche una questione di massa del
pianeta e vicinanza dal Sole (velocità orbitale) si piega così che
la Terra, Venere e Mercurio non ne hanno, la Luna invece "avrebbe"
2 coppie di nuvole di polveri nei 2 punti lagrangiani L4 e L5, queste
nuvole di detriti, non confermate, hanno il nome del loro scopritore
polacco che purtroppo ora non ricordo.
Sao 67174

grazie per la tua risposta, c'è una cosa però che non capisco...come fanno
i punti L4 ed L5 ad essere "pozzi gravitazionalli" o "buche profonde" se
corrispondono ad un massimo di potenziale?

saluti,
Ilaria

[Sao 67174]

CUT

Post by ilaria_p

Post by Sao 67174
Spero di non dire una stupidata, ma se ricordo bene, è proprio
per il fatto che è difficile posizionarcisi che sono stabili, infatti
una volta entrati è difficile uscirvi, in parole povere occorre
un evento ad hoc per finire in un punto lagrangiano ed un'altro evento
ad hoc per uscirne (in un certo senso questi 2 punti sono "come dei
pozzi gravitazionali o come delle buche profonde una volta caduti
dentro è difficile uscirne).
Nei 4,6 miliardi di anni molti asteroidi vi sono caduti, pochi ne sono
usciti, il risultato è che si stima che esistano almeno alcune
migliaia di asteroidi Greci e Troiani nei punti L 4 e L 5 di Giove,
inoltre si cominciano a scoprire Troiani di Marte (5)e Nettuno (1),
essendo anche una questione di massa del
pianeta e vicinanza dal Sole (velocità orbitale) si piega così che
la Terra, Venere e Mercurio non ne hanno, la Luna invece "avrebbe"
2 coppie di nuvole di polveri nei 2 punti lagrangiani L4 e L5, queste
nuvole di detriti, non confermate, hanno il nome del loro scopritore
polacco che purtroppo ora non ricordo.
Sao 67174

grazie per la tua risposta, c'è una cosa però che non capisco...come fanno
i punti L4 ed L5 ad essere "pozzi gravitazionalli" o "buche profonde" se
corrispondono ad un massimo di potenziale?
saluti,
Ilaria

Sempre col beneficio d'inventario! Non è che qualsiasi asteroide
o cometa che passa per L4 o L5 viene catturato, ma se la sua orbita
viene deviata, per esempio con un impatto col altro corpo e la sua
orbita è in risonanza con Giove (od altro corpo) piano piano si
stabilizza in quel punto e ci rimane, una volta sul posto non è
che rimane fisso a 60° da Giove ma oscilla anche di parecchi milioni
di Km ma rimane come "ancorato" al punto lagrangiano, solo un altro
grosso "evento" come un'altra collisione con un corpo transitante
per L4 e L5 (ma non Troiano perchè probabilmente non avrebbe
l'energia cinetica sufficente) può dargli la spinta cinetica
necessaria per "sganciarlo", ma in tal caso l'oggetto dopo 2
collisioni a relativamente alta velocità ha alte possibilità
di essere stato "ridotto in briciole".
Per curiosità: che tipo di scuola stai facendo?
Ciao.
Sao 67174

[ilaria_p]

Post by Sao 67174
CUT

Post by ilaria_p

Post by Sao 67174
Spero di non dire una stupidata, ma se ricordo bene, è proprio
per il fatto che è difficile posizionarcisi che sono stabili, infatti
una volta entrati è difficile uscirvi, in parole povere occorre
un evento ad hoc per finire in un punto lagrangiano ed un'altro evento
ad hoc per uscirne (in un certo senso questi 2 punti sono "come dei
pozzi gravitazionali o come delle buche profonde una volta caduti
dentro è difficile uscirne).
Nei 4,6 miliardi di anni molti asteroidi vi sono caduti, pochi ne sono
usciti, il risultato è che si stima che esistano almeno alcune
migliaia di asteroidi Greci e Troiani nei punti L 4 e L 5 di Giove,
inoltre si cominciano a scoprire Troiani di Marte (5)e Nettuno (1),
essendo anche una questione di massa del
pianeta e vicinanza dal Sole (velocità orbitale) si piega così che
la Terra, Venere e Mercurio non ne hanno, la Luna invece "avrebbe"
2 coppie di nuvole di polveri nei 2 punti lagrangiani L4 e L5, queste
nuvole di detriti, non confermate, hanno il nome del loro scopritore
polacco che purtroppo ora non ricordo.
Sao 67174

grazie per la tua risposta, c'è una cosa però che non capisco...come fanno
i punti L4 ed L5 ad essere "pozzi gravitazionalli" o "buche profonde" se
corrispondono ad un massimo di potenziale?
saluti,
Ilaria

Sempre col beneficio d'inventario! Non è che qualsiasi asteroide
o cometa che passa per L4 o L5 viene catturato, ma se la sua orbita
viene deviata, per esempio con un impatto col altro corpo e la sua
orbita è in risonanza con Giove (od altro corpo) piano piano si
stabilizza in quel punto e ci rimane, una volta sul posto non è
che rimane fisso a 60° da Giove ma oscilla anche di parecchi milioni
di Km ma rimane come "ancorato" al punto lagrangiano, solo un altro
grosso "evento" come un'altra collisione con un corpo transitante
per L4 e L5 (ma non Troiano perchè probabilmente non avrebbe
l'energia cinetica sufficente) può dargli la spinta cinetica
necessaria per "sganciarlo", ma in tal caso l'oggetto dopo 2
collisioni a relativamente alta velocità ha alte possibilità
di essere stato "ridotto in briciole".
Per curiosità: che tipo di scuola stai facendo?
Ciao.
Sao 67174

ciao, adesso è tutto chiaro...grazie ancora! scusa se ti rispondo ora, ma
a dire il vero avevo risposto ieri, solo che sembra che non sia mai
arrivata la risposta sul NG...ho problemi con internet.
cmq studio fisica, però l'astronomia non fa parte del mio curriculum!

saluti,
ilaria

[Paolo Ulivi]

Post by ilaria_p
Salve a tutti,
studiando un po' di meccanica celeste (problema ristretto dei 3 corpi) mi
come mai i punti di Lagrange fissi (quelli che formano triangoli
equilateri con le masse maggiori del problema) sono anche stabili? I
Greci e Troiani sull'orbita di Giove non si trovano proprio in quei
punti?Eppure mi risulta che siano proprio nella zona inaccessibile alla
terza massa!
grazie per il vostro aiuto,
Ilaria

A proposito di punti lagrangiani, vi segnalo che l'opera di Lagrange
"Essai sur le problème des trois corps" e' interamente disponibile on
line sul sito della biblioteca nazionale francese.
Andate all'indirizzo http://gallica.bnf.fr/Metacata.htm e immettete
Lagrange come autore. Selezionate il sesto volume delle sue opere
complete: "Oeuvres / Joseph Louis de Lagrange. 6 / publ. par les soins
de J.-A. Serret" e andate a pagina 229. Il capitolo II (da pagina 272)
riguarda le soluzioni esatte del problema dei tre corpi