Però per dimostrartelo dovrei scrivere un po', e dovrei anche a
pensare a come sviluppare l'argomento.
Ora non ho tempo né9 per l'una né per l'altra cosa.
Ne riparleremo.
Eccoci qua. Però ci ho dovuto pensare un bel po'...
Cominciamo con un po' di notazioni.
Supporrò la Terra sferica, e indicherò con g_T il suo campo grav. alla
superficie (raggio R)
Chiamerò D la distanza Terra-Luna (fra i centri), M la massa della Luna.
Userò coord. polari (r, th) sulla Terra, con polo nel punto sublunare.
Allora nel punto (r,th) (non nec. r=R) le componenti radiale e
tangenziale del campo di marea lunare sono:
g_r = (GMr/D^3)(3 cos^2(th) - 1)
g_t = -(3GMr/D^3) sin(th) cos(th).
g_r>0 significa forza diretta verso l'esterno (r crescente)
g_t>0 significa forza diretta verso th crescente.
Consideriamo ora un oceano che ricopre interamente la Terra, e
trascuriamo la rotazione terrestre. In assenza di forza di marea la
superf. dell'oceano è sferica (r costante): è una superf. equipot. del
campo grav. terrestre.
Anche se c'è la forza di marea, la superf. di equilibrio (marea
statica) è equipotenziale, però al pot. grav. terrestre va sommato il
pot. del campo di marea: la superf. non è più sferica: si solleva (r
aumenta) per th=0, si abbassa (r diminuisce) per th=pi/2.
Detto h il sollevamento di marea (differenza fra la r per th=0 e la r
per th=pi/2) possiamo calcolare h imponendo che sia nullo il lavoro
totale delle due forze (gravità terrestre e marea) fra il punto A della
superficie (th=0) e il punto B (th=pi/2).
Il lavoro della gravità è banale: vale g_T*h (trascuro la variazione di
g_T con la quota).
Per il lavoro della forza di marea considero il percorso AA'B, dove A'
è il punto sotto A del segmento h: A' e B hanno la stessa r.
Nel tratto AA' conta solo g_t, ma questo lavoro è trascurabile.
Per il tratto A'B abbiamo
L = int_0^{pi/2) g_t(th) r*dth =
-(3GMr^2/D^3) int_0^(pi/2) sin(th) cos(th) dth = -3GMr^2/(2D^3).
Dunque g_T*h - 3GMr^2/(2D^3) = 0
h = 3GMr^2/(2D^3*g_T) =~ 3GMR^2/(2D^3*g_T).
Fin qui appare ovvio che la componente verticale della forza di marea
non ha alcun effetto. Però...
Osservo che la sup. di equilibrio non dipende da quello che c'è sotto,
ma solo dalla forma sferica e dal valore di g_T.
La forza di marea non è influenzata dalla distrib. dell'acqua o in
generale della materia terrestre.
Posso quindi ricorrere alo stesso metodo che usa Newton per calcolare
lo schiaccianento terrestre: un tubo a L pieno d'acqua, che va da A al
centro della Terra e poi risale verso B.
L'equilibrio nel tubo si ottiene imponendo che la pressione al centro
sia lo stesso se calcolata in uno o nell'altro ramo.
La pressione è idrostatica e dovuta alla somma dei due campi gravit. e
di marea.
Sia r la lunghezza del ramo b (r+h quella del ramo A).
Nel ramo B abbiamo:
- contributo della gravità che non calcolo
- contrib. della forza di marea: qui conta g_r che è verso il basso
come g_T e quindi aumenta la pressione di
int_0^r g_r(th=pi/2) dr = (GM/D^3) int_0^r r' dr' = GMr^2/(2 D^3).
Passiamo al ramo A
- il contributo della gravità è > di quello nel ramo B per la maggiore
altezza h; questo termine addizionale vale g_T*h.
- il contrib. della forza di marea si calcola come in B, salvo che la
forza ha direzione opposta valore doppio:
-GMr^2/D^3.
Eguagliando le pressioni nei due rami:
GMr^2/(2 D^3) = g_T*h - GMr^2/D^3
g_T*h = 3GMr^2/(2 D^3)
h = GMr^2/(2 D^3 g_T)
che coincide con ciò che si era ottenuto per l'altra via.
Domanda: come mai si ottiene lo stesso risultato usando due componenti
diverse della forza di marea?
La ragione è che il campo di marea è *conservativo*.
Esercizio:
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Consideriamo il percorso AA'BB'A dove B' è il punto che sovrasta B
all'altezza h. A'B e B'A sono archi di circonf., di raggi r e r+h.
Usando il fatto che il lavoro della forza di marea lungo questo
percorso deve esere nullo, ricavare una relazione fra g_r e
l'integrale di g_t, che giustifica l'identità dei due risultati.
L'avevo detto che avrei dovuto scrivere parecchio.
Spero almeno che sia comprensibile :-)
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Elio Fabri